​数学基本知识：常微分方程

数学基本知识：常微分方程

微分方程是高等数学最具工程应用价值的数学表达式之一，比如量子力学中著名的薛定谔方程就是一个较为复杂的偏微分方程。

凡含有一元函数的导数算子的方程就都可以看成是常微分方程，一般形式如下：

F(x,y,(d/dx)y,(d²/dx²)y,...,(dⁿ/dxⁿ)y) = 0

其中d/dx,d²/dx²,....,dⁿ/dxⁿ是1至n阶导数算子，F(...)是个n+2元函数。此方程也叫n阶常微分方程，或简称n阶微分方程。

可见，一般的n阶微分方程可能是个非常复杂的玩意儿。凡是符合上述方程的函数y=f(x)都是此方程的解，显然其解并非唯一。

现在分析一个较为简单的方程形式：

(d/dx)y = F(x,y)

这是个解出y一阶导数的一阶常微分方程。从这个方程的形式可知，其给出了函数y=f(x)在坐标点(x,y)上的导数（即切线斜率）F(x,y)。显然可以想象，此方程的解是X-Y坐标空间上互不相交的线族，每条线（具体一个解）在点(x,y=f(x))上的切线斜率是F(x,y)。如果给出条件(x0,y0=f(x0))，则就可以确定此方程的唯一解。

由于一般类型的微分方程无普适的求解方法，所以通常把微分方程分成几个类型，然后针对不同类型分别给出相应的求解方法。下面简单罗列且给出说明。

一）直接可分离变量的一阶微分方程

(d/dx)y = u(x)/v(y)

其中u和v分别是x和y的函数。显然分离变量得微分形式

v(y)dy = u(x)dx

两边求不定积分

∫v(y)dy = ∫u(x)dx

如果v(y)和u(x)存在解析原函数V(y)和U(x)，则有

V(y) = U(x) + C

此方程确定了隐函数y。

二）一阶齐次方程

(d/dx)y = u(y/x)

设t=y/x，即y=tx。则有

(d/dx)y = x (d/dx)t + t = u(t)

(d/dx)t = (u(t) - t)/x

此方程可分离变量。

三）可化为齐次的方程

(d/dx)y = (a1 x + b1 y + c1)/(a2 x + b2 y + c2)

其中a1,a2,b1,b2,c1,c2为常数。解略

四）一阶线性微分方程

(d/dx)y + P(x) y = Q(x)

如果Q(x)≡0，此方程称为一阶齐次线性微分方程，否则为非齐次。显然，一阶齐次线性微分方程是可分离变量的，可求得其通解。通过对齐次方程通解中的常数作常数变易可求得相应的非齐次方程的解。具体略。

五）伯努利方程

(d/dx)y + P(x) y = Q(x) yⁿ

显然，一般这不是个线性方程（含yⁿ）。但若令z = y¹⁻ⁿ，那么有

(d/dx)z = (1-n) y⁻ⁿ (d/dx)y = (1-n)(Q(x) - P(x) z)

这是个线性方程。

六）常系数线性微分方程

(dⁿ/dxⁿ)y + p(1) (dⁿ⁻¹/dxⁿ⁻¹)y + ... + p(n-1) (d/dx)y + p(n) y = Q(x)

其中p(i)是常数（i=1,..,n）。如果Q(x)≡0，此方程为齐次，否则为非齐次。

这类方程中的二阶常系数线性微分方程在物理和电路中有着广泛的应用，所以将另外详细分析之。